Calculo Integral y Diferencial

Calculo Diferencial

INTRODUCCION

En nuestra vida diaria nos encontramos, con la noción de correspondencia. Por ejemplo, a cada persona le corresponde una fecha de nacimiento, a cada libro le corresponde un número de páginas, a cada objeto le corresponde un peso, a cada rectángulo le corresponde un área, a cada número no negativo le corresponde su raíz cuadrada, etc.

DERIVADA

La derivada de una función en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva (función) con el eje de las abscisas, en ese punto. La cartesiano de dos dimensiones. Por ejemplo si tomamos la velocidad de algo, su coeficiente es la aceleración, la cual mide cuánto cambia la velocidad en un tiempo dado. derivada de una función mide el coeficiente de variación de dicha función. Es decir, provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. El coeficiente de cambio indica lo rápido que crece (o decrece) una función en un punto (razón de cambio promedio) respecto del eje de un plano

En cada uno de los ejemplos anteriores hay dos conjuntos D y C entre los que se dá la correspondencia. En el primer ejemplo el conjunto D es el conjunto de personas y el conjunto C es el conjunto de fechas (día, mes y año). En el segundo ejemplo el conjunto D es el conjunto de libros y el conjunto C es un número entero (el número de páginas).

La suma, diferencia, producto y cociente de estas dos funciones están dados enseguida: La suma(f+g)(x)= 2 x2 + 3 x - 1 La diferencia (f-g)(x)= 2 x2 - 3 x - 9El producto(f g)(x)=(3 x + 4) (2 x2 -5) =6 x3 + 8 x2 - 15 x - 20 El cociente 2 x2 - 5(f/g)(x)= 3 x + 4

Las gráficas de la suma, diferencia, producto y cociente de funciones

Obtener la gráfica de la función suma es un proceso que se lleva a cabo a través de sumar alturas. Es decir el valor de f(x1) más el valor g(x1) dará el valor de (f + g)(x1). De igual forma con las operaciones diferencia, multiplicación y división, la gráfica se obtiene haciendo la operación correspondiente con alturas, tendrás que tener cuidado con la división cuando el denominador sea cero (x=-4/3 para este ejemplo).

Función compuesta
Dos funciones f y g pueden combinarse para formar una función compuesta, de las siguientes maneras:
La función compuesta recibe también el nombre de función. Resulta obvio entender que los valores g(x) deberán estar en el dominio de f para (fog), y que los valores f(x) deberán estar en el dominio de g para (gof ).
Utilizando las mismas funciones f y g de los ejemplos anteriores:
f(x)=2x2-5
g(x)=3x+4

(fog)(x)= 2(3x2 + 4) - 5

(f o g) (x) = f( g(x) )
(g o f ) (x) = g( f(x) )

Ejercicios
1) Encuentre f + g, f - g, fg y f/g:
a) f(x) = 3x2, g(x) = 4x3 b) f(x) = x / (x + 1), g(x) = 1 / x
2) Dadas las siguientes funciones, encuentre las combinaciones que se piden y
sus dominios:
f(x) = g(x) = 10 a) f / g b) (f o g)(x) c)(g o f)(x)
3) Halle f(g(0)), f(g(1/2)) y g(f(g(1))): a) f(x) = 2x - 2, g(x) = x2 + 1 b) f(x) = x2 + 1, g(x) = 2x4 - 4x2 + 3

Calculo Integral

El cálculo integral, también conocido como cálculo infinitesimal es una rama de las matemáticas en la cual se estudia el cálculo a partir del proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes Descartes, Newton y Barrow, éste último fue el que junto con aportes de Newton, crearon el Teorema fundamental del cálculo integral que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

Teorema fundamental del cálculo =integral
El teorema fundamental del cálculo integral consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas.
Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominado análisis matemático o cálculo.

El cálculo integral se basa en el proceso inverso de la derivación, llamado integración. Dada una función f, se busca otra función F tal que su derivada es F′ = f; F es la integral, primitiva o antiderivada de f, lo que se escribe F(x) = ∫f(x)dx o simplemente F = ∫f dx (esta notación se explica más adelante). Las tablas de derivadas se pueden utilizar para la integración: como la derivada de x2 es 2x, la integral de 2x es x2. Si F es la integral de f, la forma más general de la integral de f es F + c, en donde c es una constante cualquiera llamada constante de integración; esto es debido a que la derivada de una constante es 0 por lo que (F + c)′ = F′ + c′ = f + 0 = f.
Por ejemplo,
∫2xdx = x2 + c.

Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la antiderivada de la función al ser integrada.
Aunque los antiguos matemáticos griegos como Arquímedes ya contaban con métodos aproximados para el cálculo de volúmenes, áreas y longitudes curvas, fue gracias a una idea originalmente desarrollada por el matemático inglés Isaac Barrow y los aportes de Isaac Newton y Gottfried Leibniz que este teorema pudo ser enunciado y demostrado.

En el desarrollo del concepto de función integrable de una función acotada definida en un intervalo acotado, aparecen los conceptos de integral superior e integral inferior de Riemann. La idea consiste en efectuar aproximaciones por exceso y por defecto utilizando los rectángulos exteriores e interiores a la curva, en función de una determinada partición del intervalo.
Para efectuar esta práctica vamos a cargar el fichero RIEMANN.MTH mediante la
secuencia de comandos Archivo-Leer-Utilidad, tal como se explicó en la primera parte sobre el manejo de ficheros con DERIVE.
Consideremos una función cualquiera, por ejemplo f(x)=x2, definida en el intervalo. Representemos esta función con Ventana-NuevaVentana2D-¡Representar!, o bien pulsando el botón en la ventana de Álgebra y nuevamente en la ventana 2D. Supongamos que efectuamos una partición del intervalo [0,2] en 4 subintervalos. Si deseamos dibujar los rectángulos inferiores, basta que editemos la expresión y la simplifiquemos

GRACIAS POR SU ATENCION Y ESPERO QUE EL CONTENIDO SEA DE UTILIDAD PARA LAS FUTURAS GENERACIONES Y SEA SASTIFACTORIO PARA EL AREA DE MATEMATICAS.
ATENTAMENTE:
GRISSEL CECILA RIVAS GUATZOZON