Calculo Integral y Diferencial

Calculo Integral

Introduccion
COTIDIANAMENTE NOS ENCONTRAMOS QUE CADA INDIVIDUO LE CORRESPONDE UNA FECHA DE NACIMIENTO,ES DECIR QUE CADA COSA TIENE QUE CUMPLIR UN OBJETIVO

El cálculo integral se basa en el proceso inverso de la derivación, llamado integración. Dada una función f, se busca otra función F tal que su derivada es F′ = f; F es la integral, primitiva o antiderivada de f, lo que se escribe F(x) = ∫f(x)dx o simplemente F = ∫f dx (esta notación se explica más adelante). Las tablas de derivadas se pueden utilizar para la integración: como la derivada de x2 es 2x, la integral de 2x es x2. Si F es la integral de f, la forma más general de la integral de f es F + c, en donde c es una constante cualquiera llamada constante de integración; esto es debido a que la derivada de una constante es 0 por lo que (F + c)′ = F′ + c′ = f + 0 = f. Por ejemplo, ∫2xdx = x2 + c.

Las reglas básicas de integración de funciones compuestas son similares a las de la diferenciación. La integral de la suma (o diferencia) es igual a la suma (o diferencia) de sus integrales, y lo mismo ocurre con la multiplicación por una constante. Así, la integral de x = ½·2x es ½x2, y de forma similar ∫xm dx = xm+1/(m + 1) para cualquier m ≠ -1 (no se incluye el caso de m = -1 para evitar la división por 0; el logaritmo neperiano lnx es la integral de x-1 = 1/x para cualquier x ≠ 0). La integración suele ser más difícil que la diferenciación, pero muchas de las funciones más corrientes se pueden integrar utilizando éstas y otras reglas (ver la tabla).

Una aplicación bien conocida de la integración es el cálculo de áreas. Sea A el área de la región delimitada por la curva de una función y = f(x) y por el eje x, para a ≤ x ≤ b. Para simplificar, se asume que f(x) ≥ 0 entre a y b. Para cada x ≥ a, sea L(x) el área de la región a la izquierda de la x, así es que hay que hallar A = L(b). Primero se deriva L(x). Si h es una pequeña variación en la x, la región por debajo de la curva entre x y x + h es aproximadamente un rectángulo de altura f(x) y anchura h (véase figura 3); el correspondiente incremento k = L(x + h) - L(x) es por tanto, aproximadamente, f(x)h, por lo que k/h es, aproximadamente, f(x). Cuando h → 0 estas aproximaciones tienden hacia los valores exactos, así es que k/h → f(x) y por tanto L′(x) = f(x), es decir, L es la integral de f.

Si se conoce una integral F de f entonces L = F + c para cierta constante c. Se sabe que L(a) = 0 (pues el área a la izquierda de la x es cero si x = a), con lo que c = -F(a) y por tanto L(x) = F(x) - F(a) para todas las x ≥ a. El área buscada, A = L(b) = F(b) - F(a), se escribe
Éste es el teorema fundamental del cálculo, que se cumple siempre que f sea continua entre a y b, y se tenga en cuenta que el área de las regiones por debajo del eje x es negativa, pues f(x) <>

El área es una integral definida de f que es un número, mientras que la integral indefinida ∫f(x)dx es una función F(x) (en realidad, una familia de funciones F(x) + c). El símbolo ∫ (una S del siglo XVII) representa la suma de las áreas f(x)dx de un número infinito de rectángulos de altura f(x) y anchura infinitesimal dx; o mejor dicho, el límite de la suma de un número finito de rectángulos cuando sus anchuras tienden hacia 0.
La derivada dy/dx = f′(x) de una función y = f(x) puede ser diferenciada a su vez para obtener la segunda derivada, que se denota d2y/dx2, f′′(x) o D2f. Si por ejemplo x es el tiempo e y es la distancia recorrida, entonces dy/dx es la velocidad v, y d2y/dx2 = dv/dx es el incremento en la velocidad, es decir, la aceleración. Según la segunda ley del movimiento del Newton, un cuerpo de masa constante m bajo la acción de una fuerza F adquiere una aceleración a tal que F = ma. Por ejemplo, si el cuerpo está bajo la influencia de un campo gravitatorio F = mg (donde g es la magnitud del campo), y entonces ma = F = mg por lo que a = g, y por tanto dv/dx = g. Al integrar, se tiene que v = gx + c, en donde c es una constante; sustituyendo x = 0 se ve que c es la velocidad inicial. Integrando dy/dx = v = gx + c, se tiene que y = ½gx2 + cx + b en donde b es otra constante; sustituyendo de nuevo x = 0 se tiene que b es el valor inicial de la y Las derivadas de orden superior f(n)(x) = dny/dxn = Dnf de f(x) se calculan diferenciando n veces sucesivamente. El teorema de Taylor muestra que f(x) se puede aproximar como una serie de potencias f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn + ..., donde los coeficientes a0,a1, ... son constantes tales que an = f(n)(0)/n! (en donde 0!=1 y n!= 1 × 2 × 3 × ... × n para cualquier n ≥

Calculo Diferencial

El cálculo diferencial estudia los incrementos en las variables. Sean x e y dos variables relacionadas por la ecuación y = f(x), en donde la función f expresa la dependencia del valor de y con los valores de x. Por ejemplo, x puede ser tiempo e y la distancia recorrida por un objeto en movimiento en el tiempo x. Un pequeño incremento h en la x, de un valor x0 a x0 + h, produce un incremento k en la y que pasa de y0 = f(x0) a y0 + k = f(x0 + h), por lo que k = f(x0 + h) - f(x0). El cociente k/h representa el incremento medio de la y cuando la x varía de x0 a x0 + h. La gráfica de la función y = f(x) es una curva en el plano xy y k/h es la pendiente de la recta AB entre los puntos A = (x0,y0) y B = (x0 + h, y0 + k) en esta curva; esto se muestra en la figura 1, en donde h = AC y k = CB, así es que k/h es la tangente del ángulo BAC.

Si h tiende hacia 0, para un x0 fijo, entonces k/h se aproxima al cambio instantáneo de la y en x0; geométricamente, B se acerca a A a lo largo de la curva y = f(x), y la recta AB tiende hacia la tangente a la curva, AT, en el punto A. Por esto, k/h tiende hacia la pendiente de la tangente (y por tanto de la curva) en A. Así, se define la derivada f′(x0) de la función y = f(x) en x0 como el límite que toma k/h cuando h tiende hacia cero, lo que se escribe:

Este valor representa la magnitud de la variación de y y la pendiente de la curva en A. Cuando, por ejemplo, x es el tiempo e y es la distancia, la derivada representa la velocidad instantánea. Valores positivos, negativos y nulos de f′(x0) indican que f(x) crece, decrece o es estacionaria respectivamente en x0. La derivada de una función es a su vez otra función f′(x) de x, que a veces se escribe como dy/dx, df/dx o Df. Por ejemplo, si y = f(x) = x2 (parábola), entonces
por lo que k/h = 2x0 + h, que tiende hacia 2x0 cuando h tiende hacia 0. La pendiente de la curva cuando x = x0 es por tanto 2x0, y la derivada de f(x) = x2 es f′(x) = 2x. De manera similar, la derivada de xm es mxm-1 para una m constante. Las derivadas de las funciones más corrientes son bien conocidas (véase la tabla adjunta con algunos ejemplos).

Para calcular la derivada de una función, hay que tener en cuenta unos cuantos detalles: primero, se debe tomar una h muy pequeña (positiva o negativa), pero siempre distinta de cero. Segundo, no toda función f tiene una derivada en todas las x0, pues k/h puede no tener un límite cuando h → 0; por ejemplo, f(x) = x no tiene derivada en x0 = 0, pues k/h es 1 o -1 según que h > 0 o h < a =" (0,0).">

Diferenciación es el proceso de calcular derivadas. Si una función f se forma al combinar dos funciones u y v, su derivada f′ se puede obtener a partir de u, v y sus respectivas derivadas utilizando reglas sencillas. Por ejemplo, la derivada de la suma es la suma de las derivadas, es decir, si f = u + v (lo que significa que f(x) = u(x) + v(x) para todas las x) entonces f′ = u′ + v′. Una regla similar se aplica para la diferencia: (u - v)′ = u′ - v′. Si una función se multiplica por una constante, su derivada queda multiplicada por dicha constante, es decir, (cu)′ = cu′ para cualquier constante c. Las reglas para productos y cocientes son más complicadas: si f = uv entonces f′ = uv′ + u′v, y si f = u/v entonces f′ = (u′v-uv′)/v2 siempre que v(x) ≠ 0. Utilizando estas reglas se pueden derivar funciones complicadas; por ejemplo, las derivadas de x2 y x5 son 2x y 5x4, por lo que la derivada de la función 3x2 - 4x5 es (3x2 - 4x5)′ = (3x2)′ - (4x5)′ = 3·(x2)′ - 4·(x5)′ = 3·(2x) - 4·(5 x4) = 6x - 20x4.

En general, la derivada de un polinomio cualquiera f(x) = a0 + a1x + ... + anxn es f′(x) = a1 + 2a2x + ... + nanxn-1; como caso particular, la derivada de una función constante es 0. Si y = u(z) y z = v(x), de manera que y es una función de z y z es una función de x, entonces y = u(v(x)), con lo que y es función de x, que se escribe y = f(x) donde f es la composición de u y v; la regla de la cadena establece que dy/dx = (dy/dz)·(dz/dx), o lo que es lo mismo, f′(x) = u′(v(x))·v′(x). Por ejemplo, si y = ez en donde e = 2,718... es la constante de la exponenciación, y z = ax donde a es una constante cualquiera, entonces y = eax; según la tabla, dy/dz = ez y dz/dx = a, por lo que dy/dx = aeax.

Muchos problemas se pueden formular y resolver utilizando las derivadas. Por ejemplo, sea y la cantidad de material radiactivo en una muestra dada en el instante x. Según la teoría y la experiencia, la cantidad de sustancia radiactiva en la muestra se reduce a una velocidad proporcional a la cantidad restante, es decir, dy/dx = ay con una cierta constante negativa a. Para hallar y en función de x, hay que encontrar una función y = f(x) tal que dy/dx = ay para cualquier x. La forma general de esta función es y = ceax en donde c es una constante. Como e0 = 1, entonces y = c para x = 0, así es que c es la cantidad inicial (tiempo x = 0) de material en la muestra. Como a<0, y =" ceax,">0). Esto es un crecimiento exponencial que se muestra en la figura 2b y que se pone de manifiesto en explosiones nucleares. También ocurre en comunidades animales donde la tasa de crecimiento es proporcional a la población.

GRACIAS POR SUA TENCION Y ESPERO SEA DETODO SU AGRADO SASTIFACTORIO PARA EL AREA DE MATEMATICAS.

ATENTAMENTE:MARIA DEL ROSARIO CAMPOS DOMINGUEZ

GRUPO: 604

Calculo Integral y Diferencial

Calculo Diferencial

INTRODUCCION

En nuestra vida diaria nos encontramos, con la noción de correspondencia. Por ejemplo, a cada persona le corresponde una fecha de nacimiento, a cada libro le corresponde un número de páginas, a cada objeto le corresponde un peso, a cada rectángulo le corresponde un área, a cada número no negativo le corresponde su raíz cuadrada, etc.

DERIVADA

La derivada de una función en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva (función) con el eje de las abscisas, en ese punto. La cartesiano de dos dimensiones. Por ejemplo si tomamos la velocidad de algo, su coeficiente es la aceleración, la cual mide cuánto cambia la velocidad en un tiempo dado. derivada de una función mide el coeficiente de variación de dicha función. Es decir, provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. El coeficiente de cambio indica lo rápido que crece (o decrece) una función en un punto (razón de cambio promedio) respecto del eje de un plano

En cada uno de los ejemplos anteriores hay dos conjuntos D y C entre los que se dá la correspondencia. En el primer ejemplo el conjunto D es el conjunto de personas y el conjunto C es el conjunto de fechas (día, mes y año). En el segundo ejemplo el conjunto D es el conjunto de libros y el conjunto C es un número entero (el número de páginas).

La suma, diferencia, producto y cociente de estas dos funciones están dados enseguida: La suma(f+g)(x)= 2 x2 + 3 x - 1 La diferencia (f-g)(x)= 2 x2 - 3 x - 9El producto(f g)(x)=(3 x + 4) (2 x2 -5) =6 x3 + 8 x2 - 15 x - 20 El cociente 2 x2 - 5(f/g)(x)= 3 x + 4

Las gráficas de la suma, diferencia, producto y cociente de funciones

Obtener la gráfica de la función suma es un proceso que se lleva a cabo a través de sumar alturas. Es decir el valor de f(x1) más el valor g(x1) dará el valor de (f + g)(x1). De igual forma con las operaciones diferencia, multiplicación y división, la gráfica se obtiene haciendo la operación correspondiente con alturas, tendrás que tener cuidado con la división cuando el denominador sea cero (x=-4/3 para este ejemplo).

Función compuesta
Dos funciones f y g pueden combinarse para formar una función compuesta, de las siguientes maneras:
La función compuesta recibe también el nombre de función. Resulta obvio entender que los valores g(x) deberán estar en el dominio de f para (fog), y que los valores f(x) deberán estar en el dominio de g para (gof ).
Utilizando las mismas funciones f y g de los ejemplos anteriores:
f(x)=2x2-5
g(x)=3x+4

(fog)(x)= 2(3x2 + 4) - 5

(f o g) (x) = f( g(x) )
(g o f ) (x) = g( f(x) )

Ejercicios
1) Encuentre f + g, f - g, fg y f/g:
a) f(x) = 3x2, g(x) = 4x3 b) f(x) = x / (x + 1), g(x) = 1 / x
2) Dadas las siguientes funciones, encuentre las combinaciones que se piden y
sus dominios:
f(x) = g(x) = 10 a) f / g b) (f o g)(x) c)(g o f)(x)
3) Halle f(g(0)), f(g(1/2)) y g(f(g(1))): a) f(x) = 2x - 2, g(x) = x2 + 1 b) f(x) = x2 + 1, g(x) = 2x4 - 4x2 + 3

Calculo Integral

El cálculo integral, también conocido como cálculo infinitesimal es una rama de las matemáticas en la cual se estudia el cálculo a partir del proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes Descartes, Newton y Barrow, éste último fue el que junto con aportes de Newton, crearon el Teorema fundamental del cálculo integral que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

Teorema fundamental del cálculo =integral
El teorema fundamental del cálculo integral consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas.
Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominado análisis matemático o cálculo.

El cálculo integral se basa en el proceso inverso de la derivación, llamado integración. Dada una función f, se busca otra función F tal que su derivada es F′ = f; F es la integral, primitiva o antiderivada de f, lo que se escribe F(x) = ∫f(x)dx o simplemente F = ∫f dx (esta notación se explica más adelante). Las tablas de derivadas se pueden utilizar para la integración: como la derivada de x2 es 2x, la integral de 2x es x2. Si F es la integral de f, la forma más general de la integral de f es F + c, en donde c es una constante cualquiera llamada constante de integración; esto es debido a que la derivada de una constante es 0 por lo que (F + c)′ = F′ + c′ = f + 0 = f.
Por ejemplo,
∫2xdx = x2 + c.

Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la antiderivada de la función al ser integrada.
Aunque los antiguos matemáticos griegos como Arquímedes ya contaban con métodos aproximados para el cálculo de volúmenes, áreas y longitudes curvas, fue gracias a una idea originalmente desarrollada por el matemático inglés Isaac Barrow y los aportes de Isaac Newton y Gottfried Leibniz que este teorema pudo ser enunciado y demostrado.

En el desarrollo del concepto de función integrable de una función acotada definida en un intervalo acotado, aparecen los conceptos de integral superior e integral inferior de Riemann. La idea consiste en efectuar aproximaciones por exceso y por defecto utilizando los rectángulos exteriores e interiores a la curva, en función de una determinada partición del intervalo.
Para efectuar esta práctica vamos a cargar el fichero RIEMANN.MTH mediante la
secuencia de comandos Archivo-Leer-Utilidad, tal como se explicó en la primera parte sobre el manejo de ficheros con DERIVE.
Consideremos una función cualquiera, por ejemplo f(x)=x2, definida en el intervalo. Representemos esta función con Ventana-NuevaVentana2D-¡Representar!, o bien pulsando el botón en la ventana de Álgebra y nuevamente en la ventana 2D. Supongamos que efectuamos una partición del intervalo [0,2] en 4 subintervalos. Si deseamos dibujar los rectángulos inferiores, basta que editemos la expresión y la simplifiquemos

GRACIAS POR SU ATENCION Y ESPERO QUE EL CONTENIDO SEA DE UTILIDAD PARA LAS FUTURAS GENERACIONES Y SEA SASTIFACTORIO PARA EL AREA DE MATEMATICAS.
ATENTAMENTE:
GRISSEL CECILA RIVAS GUATZOZON